Schlechte Unendlichkeit

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System - Logik - Sein

Definition der "schlechten Unendlichkeit" bei Hegel

Hegel definiert die "schlechte Unendlichkeit" als diejenige, bei dem sich die Operation zur Überwindung der Endlichkeit immer gleichbleibend wiederholt ("n+1") und dabei nie zum Ziel (einem Ende - hier: dem Erreichen der Unendlichkeit) kommt.

Über die Bedeutung der Bezeichnung "schlechte Unendlichkeit"

Die Bezeichnung "schlechte Unendlichkeit" wird hier in erster Linie benutzt, um falsche Vorstellungen von Unendlichkeit, (etwa aus der Mathematik) abzuwehren, wenn Hegel von Unendlichkeit (im Sinne von guter, wahrer Unendlichkeit) spricht.

D.h. die Bezeichnung "schlechte Unendlichkeit" ist vor allem sinnvoll in Bezug auf die qualitative, "philosophische" Unendlichkeit, fuer die Mathematik hilft das nicht so viel, hier sind wir gefordert die weitere Entwicklung der Mathematik seit Hegels Tod zu begreifen.

Zu Cantors Unendlichkeitsbegriff

Da Cantor erst 1845, also 14 Jahre nach Hegels Tod geboren wurde, können wir davon ausgehen, dass Hegel und seine Zeitgenossen Cantors Entdeckungen nicht kannten.

Nach der oben angegebenen Definition wäre in meinem Verständnis auch Cantors Reihe der Alefs wieder "schlechte Unendlichkeit" im hegelschen Sinne (abgesehen davon, dass auch diese Reihe ihrerseits nicht zu einem Ende kommt, wird auch hier eine Operation, in diesem Falle die Produktbildung der jeweiligen Mengen, gleichbleibend widerholt)

Es gibt zwar keine arithmetische Operation, um von einem Alef zum Nächsten zu kommen.

Das bedeutet aber ja nicht, dass es keine Operation dazu gibt, sondern man nimmt dazu die Mächtigkeit der jeweiligen Produktmenge der Zahlenmenge der vorherigen Zahl. Von dieser kann man wieder die Produktmenge bilden, bekommt damit das nächste Aelf usw. ("usw." ist bei sich wiederholenden Operationen ein guter Hinweis auf eine "schlechte Unendlichkeit")

Anhang: zu Cantors Unendlichkeitsbegriff

Ich habe via Google keine umfassende Schilderung von Cantors Konzept der Unendlichkeit gefunden. Von den Seiten, die ich gefunden habe, hier stellvertretend zwei Absätze aus http://de.wikipedia.org :

Cantor gilt als Begründer der Mannigfaltigkeitslehre (1877) (heute: Mengenlehre) durch die Betrachtung eineindeutiger Zuordnungen der Elemente von unendlichen Mengen. Er bezeichnete Mengen, für die eine solche Beziehung hergestellt werden kann als äquivalent oder „von gleicher Mächtigkeit“. Demnach ist die Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, ...} der Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, ...} äquivalent. Die Arbeiten waren unter den Mathematikern seiner Zeit wegen des Umgangs mit dem "aktual Unendlichen" umstritten. Begriffsbildungen wie "die Menge aller Mengen" führten zu logischen Widersprüchen. [1]
Der mengentheoretische Begriff des Unendlichen wird noch interessanter, da es verschiedene Mengen gibt, die unendlich viele Elemente besitzen, die aber nicht bijektiv aufeinander abgebildet werden können. Diese unterschiedlichen Mächtigkeiten werden mit dem Symbol X (Aleph, dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets), und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet (die Indizes durchlaufen die Ordinalzahlen). Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen (die kleinste Unendlichkeit) ist in dieser Schreibweise X0 (X in hebräischer Schreibweise), die der rationalen Zahlen X1. [2]

Siehe auch